【题目编号】MC2-1337
【题目】若信号依次通过增益为 x dB、y dB 和 z dB 的三个电路，则总增益为：（“x＾m”表示“x 的m 次方”）
【答案】AB（多选题）
[A](x + y + z) dB
[B]10＾((x + y + z) / 10) 倍
[C](x × y × z) dB
[D]10＾((x × y × z) / 10) 倍
考点速览
这道双选题考级联（串联）电路的增益合成。信号依次通过增益为 x dB、y dB、z dB 的三级电路，问总增益的分贝写法与倍数写法。它是链路预算（link budget）的地基：发射机、馈线、功放、滤波器、天线串成一条链，只要把各级分贝值按正负排成一列相加，就能得到整条链路的净增益。比记住结论更重要的，是分清「分贝相加」与「倍数相乘」这两件事各自的适用场合。
原理与依据：分贝的定义与量纲
分贝（decibel，dB）用来表示两个功率之比，定义式为 dB = 10·lg(P2/P1)，其中 P1 是参考功率，P2 是待比较功率，lg 表示以 10 为底的常用对数。反过来，已知分贝求倍数：P2/P1 = 10^(dB/10)。这两个式子是所有分贝题的起点，尤其要记住指数里的分母是 10。
某些场合用电压比定义：20·lg(U2/U1)。系数为什么由 10 变 20？因为功率与电压的平方成正比，P = U²/R，在电阻 R 相同的前提下 P2/P1 = (U2/U1)²，取对数后平方变成系数 2，10 × 2 就是 20。所以 20·lg(U2/U1) 与 10·lg(P2/P1) 描述的是同一个量，只是入口不同，两个系数绝不能混着用。
分贝的量纲为一，是无量纲的纯数。它量的是比值，不是绝对功率。绝对功率另有基准：dBW 以 1 W 为基准，电平(dBW) = 10·lg(P/1W)；dBm 以 1 mW 为基准，电平(dBm) = 10·lg(P/1mW)。同一条链路上两者只差一个常数：1 W = 1000 mW，而 lg1000 = 3，所以 dBm = dBW + 30。以后凡遇到给电平的题，先问基准是瓦还是毫瓦。
原理与依据：级联相加的推导
设三级功率增益分别为 x、y、z 分贝，对应的功率倍数依次是 10^(x/10)、10^(y/10)、10^(z/10)。信号依次通过三级，功率被逐级连乘，总倍数 = 10^(x/10) × 10^(y/10) × 10^(z/10)。同底数幂相乘，指数相加，于是总倍数 = 10^((x+y+z)/10)。
再把总倍数换回分贝：总增益 = 10·lg(10^((x+y+z)/10)) = (x + y + z) dB。推导干净地说明：线性域里相乘，分贝域里相加。这条性质的数学依据就是 lg(a·b) = lg a + lg b——乘积的对数等于对数之和。
量纲上同样对得上：每一级的分贝值都是无量纲数，无量纲数相加仍是无量纲数，所以 (x + y + z) dB 是合法表达；而分贝值之间相乘（选项 C 的写法）等于把一个无量纲纯数自乘，得不到任何与功率比相关的量，物理上无从解释。
算例验算：3 dB + 3 dB = 6 dB；倍数一侧 10^(3/10) ≈ 1.995，两个 1.995 相乘约 3.98，而 10^(6/10) ≈ 3.98，两边相等。工程上把 3 dB 当作 2 倍来口算，两次 3 dB 就是 4 倍，与精确值 3.98 只差半个百分点。级联规则对衰减同样成立，只是那些项带负号：电缆 −3 dB、放大器 +20 dB、接头 −0.5 dB，整条链路的账就是 20 − 3 − 0.5 = 16.5 dB，正负号天然地把放大与损耗分开记账。
逐项辨析
选项 A 给的是 (x + y + z) dB，正确。它就是三级分贝值直接相加，推导见上一节。举例：若三级都等于 10 dB，总增益 = 10 + 10 + 10 = 30 dB，折合 10^(30/10) = 1000 倍。
选项 B 给的是 10^((x + y + z) / 10) 倍，正确，而且它与选项 A 是同一结论的两副笔法：同一个量的分贝表示与倍数表示，按 P2/P1 = 10^(dB/10) 互相换算即可。先有 A 的分贝之和，把它放回指数位置并除以 10，就得到 B。仍用三级 10 dB 检验：10^3 = 1000 倍，与 A 的 30 dB 完全对应。
选项 C 把三个分贝值相乘，错在把对数量的相加写成了相乘。分贝值相乘没有物理对应：三级各 10 dB 时，正确总增益 30 dB，而选项 C 给出 1000 dB，1000 dB 对应的倍数是 10^100，量级上荒谬到不可能实现。错误项与正确项的数值关系也很清楚：C 把 A 里的加号换成了乘号，只有当三级分贝值全为 1 或其中一个为 0 时才偶然与正确值相等，而增益为 0 dB 的电路本来就不改变链路总增益。
选项 D 是 10^((x × y × z) / 10) 倍，错在把乘积塞进了指数位置。指数里应当放分贝之和，而不是分贝之积。同样用三级 10 dB 代入：正确倍数是 1000 倍，选项 D 的指数为 1000，结果是 10^100 倍，与正确值相差近百个数量级。可见 C 与 D 是同一个错误的两种呈现：C 错在分贝域的运算符号，D 错在倍数域的指数内容，根源都是没分清分贝相加、倍数相乘。
易混淆点
第一处：分贝的加与倍数的乘。串联一级增益，用倍数表达要连乘，用分贝表达就直接相加。判别手感来自零分贝：0 dB 表示不放大也不衰减（倍数恰好为 1），把它串进链路，总增益不该有任何变化。按相加规则加零不变；若按相乘规则，乘零会把总增益算成 0 dB，等于 1 倍，凭空抹掉整条链路的增益，显然荒谬。
第二处：指数里要不要除以 10。分贝换倍数的指数是 dB/10，因为 1 贝尔（bel）等于 10 分贝，而贝尔的定义是 lg(P2/P1)。漏掉除以 10 会把结果抬到平方级：6 dB 正确是约 4 倍，写成 10^6 就是一百万倍。反过来，由倍数求分贝是先取对数再乘 10，那个 10 同样不能漏。电压比用 20·lg，系数翻倍正是电压平方关系的体现。
第三处：dB 与 dBW、dBm 的分工。dB 是比值，量相对变化；dBW、dBm 是带基准的绝对电平，量绝对功率。本题问的是总增益，答案必须是无量纲的分贝，不能答成以某功率为基准的电平值。链路预算里两者常常同时出现——增益用 dB 记，落点用 dBm 或 dBW 记。
应试要点
三句口诀：级联看分贝就相加，折成倍数才相乘；分贝换倍数是 10 的（分贝除以 10）次方；dB 是无量纲比值，dBW、dBm 才是绝对电平。本题答案即 (x + y + z) dB 与其倍数形式 10^((x + y + z)/10)，选 A、B。
