【题目编号】MC1-1030
【题目】将两个幅度相等，相位相差 90°的正弦电压源串联，所得结果是：
【答案】A
[A]幅度为单个信号源的 1.41 倍、相位与原信号源各差 45°的正弦电压
[B]幅度与单个信号源的相同、相位与原信号源相差 45°的正弦电压
[C]幅度为单个信号源的 2 倍、相位与原信号源相同的正弦电压
[D]幅度与单个信号源的相同、频率比原信号高一倍的正弦电压
考点速览
两个幅度相等、相位相差九十度的正弦电压源串联，合成电压的幅度是单个信号源的一点四一倍，相位与原信号各差四十五度。一点四一就是根号二的近似值。
这是同相两倍、反相为零之外的第三种典型情形。九十度是最不偏不倚的相位差，两个分量谁也压不住谁，合成的结果落在两者正中间，幅度由勾股定理决定。
正交合成与勾股关系
把两个信号看成互相垂直的两条矢量。第一个长度是 Um，方向沿水平轴；第二个与它相差九十度，长度同样是 Um，方向沿垂直轴。两条矢量合成，合矢量的长度是直角三角形的斜边：
|U| = √(Um² + Um²) = Um·√2 ≈ 1.41·Um
根号二是交流电路里反复出现的常数，约等于一点四一四。它出现在这里的原因很直接：两个等长的正交分量按勾股定理相加。
用瞬时值也能算出同一个结论。设 u1 = Um·sin θ、u2 = Um·sin(θ + 90°) = Um·cos θ，两者相加得
Um(sin θ + cos θ) = Um·√2·sin(θ + 45°)
右边这一步用到了和角公式。式子里的根号二就是合成幅度相对单个分量的倍数，括号里的四十五度就是合成相位相对第一个信号的偏移。
四十五度相位是怎么来的
相位落在四十五度，是两个分量一样大的必然结果。矢量合成的方向由两个分量的比值决定：垂直分量远小于水平分量时，合矢量几乎贴着水平方向；两者相等时，合矢量正好走在角平分线上，也就是从第一个信号的相位朝第二个信号的方向转过一半，即四十五度。
题干说"与原信号源各差四十五度"，正是角平分线的意思——合成相位不在第一个信号上，也不在第二个信号上，而是稳稳落在中间，相对前者超前四十五度，相对后者滞后四十五度。
这里要顺带把幅度与有效值的关系说清。两个等幅正交信号合成的有效值同样是单个的根号二倍，因为有效值与幅度之间只差一个固定系数，正弦量的有效值是幅度的 1/√2，比例关系原样保留。
逐项辨析
选项 A 说幅度为单个信号源的一点四一倍、相位与原信号源各差四十五度。一点四一就是根号二的近似值，来自勾股合成；四十五度来自两个等幅正交矢量的角平分线。这一项两项都对。
选项 B 说幅度与单个信号源的相同、相位与原信号源相差四十五度。相位那半句对，幅度那半句错：两个正交分量合成后的长度一定大于其中任何一个，勾股定理保证斜边比直角边长，绝不会仍等于单个分量。
选项 C 说幅度为单个信号源的两倍、相位与原信号源相同。这是同相串联的结果，相位差为零或三百六十度的整数倍时才成立。九十度不是同相，两个分量无法直接代数相加。
选项 D 说幅度与单个信号源相同、频率比原信号高一倍。串联两个同频正弦量不产生新频率，合成波形的周期与原来一致；同时幅度也不会保持不变。这一项两处都不成立。
正交关系在射频里的应用
正交这两个字在无线电设备里出现得很频繁。正交调制把信息分别载到两个相差九十度的载波上，接收端再把两路分别解出来，同样带宽下能传两倍的信息量。单边带信号的移相法生成，靠的正是把音频和射频各做一次九十度移相，让不需要的那个边带在合成时反相抵消。
正交合成还决定功率关系。两个正交分量的功率可以直接相加，不像同相分量那样需要考虑幅度的代数和。这也是正交频分复用的子载波之间能靠正交性互不干扰的原因：子载波频率间隔取符号率的整数分之一，一个子载波到达峰值时其余子载波正好过零，积分结果为零。
在测量上，矢量网络分析仪把反射信号分解成同相分量与正交分量两部分分别显示，这样既能读出幅度也能读出相位，扫出来的才是完整的复阻抗信息。如果只有一个幅度检波器，就分不清失配是感性的还是容性的，也就无法判断该往哪个方向调整匹配网络。
应试要点
等幅同频两个正弦量叠加，相位差九十度或其奇数倍时，合成幅度是单个的一点四一倍，相位在两个分量中间各差四十五度。根号二这个数字要背下来。三个典型结果一并记牢：同相两倍、反相为零、正交一点四一倍，频率在三者中都不改变。
