【题目编号】MC1-1036
【题目】给定电阻 R 和电容 C，则其阻值和电容量的乘积称为时间常数τ。将 R 和 C 串联后突然接到直流电压 U 上，电容 C 两端的电压经过τ时间后大约为 U 的：
【答案】A
[A]63%
[B]99%
[C]37%
[D]6.28%
考点速览
这道题问的是时间常数过去之后，电容电压大约涨到电源电压的百分之几。它考的不是曲线形状，而是一个具体数字，背后是时间常数的定义和指数函数在一个时间常数处的取值。答题时要么记住百分之六十三，要么记住 e 的负一次方约等于零点三六八，两个数互为补数，能互相验证。
时间常数 τ 的量纲与物理意义
电阻与电容相乘得到的量叫时间常数，符号是希腊字母 τ，单位是秒。量纲可以推一遍：欧姆乘法拉，等于伏特每安培乘上库仑每伏特，而库仑就是安培乘秒，约掉之后只剩下秒。这个推导看着绕，却说明时间常数之所以能当时间用，不是巧合，而是电容量把电荷与电压联系起来的必然结果。
τ 的物理含义有几种等价说法。它是电容电压升到终值百分之六十三所花的时间；也是从初始值衰减到百分之三十六点八所花的时间；从几何上看，过原点作充电曲线的切线，这条切线与终值水平线的交点横坐标正好等于一个时间常数。数量级上，一千欧姆配一微法，时间常数是一毫秒；一万欧姆配一百皮法，时间常数是一微秒，后者正是射频电路里常见的量级。无线电收发信机里的耦合电容与去耦电容，取值往往就是按这个量级倒推出来的。
百分之六十三这个数字从哪里来
把经过时间取为一个时间常数代入充电公式，指数部分变成 e 的负一次方。e 约等于二点七一八，它的倒数约等于零点三六八，于是电源电压乘以一减零点三六八，得到终值的约六成三。这个比例与电阻、电容的具体取值无关，只与「经过了一个时间常数」有关——无论电路是一欧姆配一法拉（时间常数为一秒），还是十千欧配零点一微法（时间常数为一毫秒），结果都是百分之六十三。
逐项辨析
选项 A 的百分之六十三正是经过一个时间常数时电容电压占终值的比例，正确。
选项 B 的百分之九十九出现在五个时间常数之后，量级差得太远，属于把长时段的结果提前使用。
选项 C 的百分之三十七是同一时刻电阻上的电压所占比例，也是放电过程剩余电压的比例。数值本身没有错，错在它对应的是另一支元件或另一个过程，与本题问的电容电压对不上。
选项 D 的百分之六点二八没有任何电路含义，它只是二倍圆周率的数值，命题人拿它做形近干扰。看到这个数先想到圆周率，而不是某个时间常数下的电压比例。
一个时间常数之外：三倍、五倍与半衰期
一个时间常数只走完全程的六成多，剩下四成要靠后续的时间常数慢慢啃。两个时间常数到百分之八十六，三个时间常数到百分之九十五，四个时间常数到百分之九十八，五个时间常数到百分之九十九以上。工程上常说「五倍时间常数之后就算稳定」。如果关心的是衰减一半要多久，答案是时间常数乘上二的自然对数，约等于零点六九三个时间常数，这个量叫半衰期（half-life）。
时间常数还决定频域特性。同一组电阻电容组成的低通或高通网络，截止频率等于一除以二倍圆周率乘时间常数。时域里看充放电快慢，频域里看通带边界，两件事出自同一个时间常数。
应试要点
两个数一起记：一个时间常数时，电容电压占六成三，电阻电压占三成七，两者相加正好是一百。倍数关系排成一行：一个时间常数六成三，三个时间常数九成五，五个时间常数九成九。时间常数的单位是秒，等于欧姆乘法拉，与外加电压的大小无关。
