【题目编号】MC1-1046
【题目】给定电阻 R 和电感 L，则其阻值和电感量的乘积称为时间常数τ。将 R 和 L 串联后突然接到直流电压 U 上。经过τ时间后，电感 L 两端的电压大约为 U 的：
【答案】A
[A]37%
[B]99%
[C]63%
[D]6.28%
考点速览
这道题要的是一个具体数值：电阻电感串联电路接通直流电源后，经过一个时间常数，电感两端还剩多少电压。答案就落在自然常数 e 的倒数上，把 e 约等于二点七一八记住，三分之一多一点这个数量级就忘不掉。
时间常数到底是哪个量
题干把时间常数写成「阻值和电感量的乘积」，这是题库里比较省略的一种说法，通行定义是电感量除以电阻，即时间常数等于电感量比电阻。量纲可以验算：电感单位亨利等于伏秒每安培，除以欧姆（也就是伏每安培）之后剩下秒，所以时间常数的单位是秒，与它作为「时间尺度」的身份相符。电阻越大、电感越小，回路的时间常数越短，暂态过程越快。
时间常数是一个进度标记，本身不代表过程结束。经过一个时间常数，暂态走完了大约百分之六十三；经过三个时间常数，剩下不到百分之五；经过五个时间常数，剩下不到百分之一，工程上就认为过程结束。实际调试发射机时，看电流表指针摆到稳定值所需的时间，量级就是几个时间常数。
电感电压是一条衰减曲线
接通直流以后，电感电压等于电源电压乘 e 的负 t 除以时间常数次幂，随时间单调衰减。把 t 换成一个时间常数代入，指数变成负一，剩下的倍率就是 e 的倒数，约为零点三六八，也就是百分之三十七左右。
这个数不是拟合出来的经验值，而是指数函数在自变量等于负一时取到的值。凡是按 e 的负幂衰减的量，走过一个时间常数都剩百分之三十七，与电感量、电阻的具体数值无关，只与「走了几个时间常数」有关。这就是这类题只用记住一个数的原因。
从曲线读数的一般做法
处理这类题有个通用流程：先写出电感的电压表达式，再把时间点换成时间常数的倍数，最后查指数值。半个时间常数对应百分之六十一，一个对应百分之三十七，两个对应百分之十四，三个对应百分之五。这几个数凑在脑子里，题目怎么问都能临场换算，不必死背某一个百分数。
电感电压曲线下降得快，头一个时间常数就丢掉了六成多，往后越来越平。这也解释了为什么工程上估算暂态时间习惯数时间常数的个数：一个时间常数看趋势，三到五个时间常数看结果。而本题问的是「经过一个时间常数」这一个点，指数值就是 e 的负一次幂，与电路里电感和电阻具体是几毫亨、几欧姆没有关系，只与走到第几个时间常数有关。这种「答案与元件数值无关」的题，靠特征值记忆最省力。
逐项辨析
选项 A 给出的百分之三十七，正是 e 的负一次幂的近似值，符合电感电压的衰减规律。
选项 B 的百分之九十九接近 e 的负零点零一次幂，也就是经过大约四到五个时间常数之后剩余的份额。把它安在一个时间常数上，等于把过程压缩了好几倍，是典型的「把终值提前」的错法。
选项 C 的百分之六十三是「一减去 e 的负一次幂」，属于从零上升到终值这一类量的进度，对应电阻电压与回路电流，不是电感电压。它与正确答案互补，两者相加为百分之百。
选项 D 的百分之六点二八明显是用二乘三点一四凑出来的干扰项，指数函数里没有这样一个特征值。二乘三点一四在交流电路里出现在角频率的定义上，与本题的时间常数没有关系。
易混淆点
同一时刻，电感电压剩余百分之三十七，电阻电压已经是百分之六十三，两者相加恰好是百分之百，这就是串联回路电压分配的直接体现。做题时如果只记得「有个百分之三十七、有个百分之六十三」，就先问一句「问的是电压还是电流、问的是哪个元件」，再选，方向就不会错。
应试要点
一个时间常数：衰减量剩百分之三十七，上升量到百分之六十三。两者互补，和为百分之百。三个时间常数到百分之九十五左右，五个时间常数到百分之九十九以上。
